Các trường hợp đặc biệt và một số ứng dụng của phân bố Alpha ổn định
22 tháng 11, 2013 bởi
Các trường hợp đặc biệt và một số ứng dụng của phân bố Alpha ổn định
Trần Hữu Trung


So sánh với phân bố Gauss, phân bố alpha ổn định có hàm đặc trưng tiệm cận đến 0 chậm hơn nhiều nên còn được gọi là phân bố có đuôi dài. Trong các trường hợp đặc biệt phân bố này có thể suy biến về phân bố Gauss. Trong khuôn khổ bài báo này chúng tôi tập trung nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của phân bố alpha ổn định, tính chất và đặc điểm như hàm đặc trưng, khả năng suy biến. Chúng tôi cũng đề xuất một số ứng dụng của phân bố này trong tự nhiên.

Dưới đây là bài báo khoa học “Các trường hợp đặc biệt và một số ứng dụng của phân bố alpha ổn định”củaThS. Trần Hữu Trung - Trung tâm thông tin thư viện - Trường Đại học Dân lập Hải Phòng.

1. Đặt vấn đề

Khi nghiên cứu phân bố của một số hiện tượng trong tự nhiên, để lý giải các trường hợp đột biến, các nhà khoa học nhận thấy rằng phân bố chuẩn (phân bố Gauss) trong nhiều trường hợp không còn phù hợp. Ví dụ như khi lý giải hiện tượng biên độ nhiễu xung đo tại khu công nghiệp, xuất hiện những biên độ lên tới 5V, thậm chí 10V đỉnh đỉnh. Vấn đề đặt ra ở đây là cần mô tả những phân bố của các hiện tượng dạng này như thế nào? Paul Levy từ những năm 1960 đã đưa ra phân bố lệch Levy [2], đã được Mandelbroit [3] cùng John Nolan phát triển đề xuất một dạng phân bố mới – phân bố alpha ổn định. Gần đây ngày càng nhiều các nghiên cứu về phân bố alpha ổn định, một dạng phân bố Non- Gauss. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về tính chất, các dạng suy biến cũng như một số ứng dụng cụ thể của phân bố alpha ổn định dựa trên các kết quả đo lường, khảo sát thực tế tại Việt Nam.

2. Nội dung nghiên cứu

2.1. Phân phối ổn định một chiều

Định nghĩa 1:

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là có phân phối ổn định, nếu với mọi số dương, tồn tại số dương và sao cho:

(1)

trong đó độc lập, có cùng phân phối với .

Nếu ta nói rằng có phân phối ổn định ngặt. Ta nói rằng có phân phối ổn định đối xứng nếu có phân phối ổn định và ( -) có cùng phân phối với. Với mỗi có phân phối ổn định, tồn tại một số thực sao cho:

(2)

 được gọi là đặc trưng mũ hay chỉ số đặc trưng của phân phối ổn định.Dựa vào biểu diễn Lévy Khintchine ta còn có thể định nghĩa phân phối ổn định theo cách sau:

Định nghĩa 2

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là có phân phối ổn định nếu nó có hàm phân phối đặc trưng viết dưới dạng sau:

(3)

trong đó:

Từ định nghĩa hàm đặc trưng ta thấy rằng phân phối ổn định được xác định bởi bốn hệ số:là đặc trưng mũ (characteristic exponent), là tham số lệch (skewness parameter), là tham số tỷ lệ (scale parameter),là tham số chuyển dịch (shift parameter).

2.2 Các trường hợp suy biến của phân bố alpha ổn định .

Hình 1: Đồ thị của hàm đặc trưng khi tham số thay đổi

Tham số mũ thể hiện tính tiệm cận hay nói một cách khác thể hiện tính chất “đuôi dài”. Khi giá trị càng nhỏ, phân bố có xu hướng tiệm cận về 0 lâu hơn

Hình 2: Đồ thị của hàm đặc trưng khi tham số thay đổi.

Khi tham số = 2 phân bố trở thành phân bố chuẩn N(,)

Hình 3: Đồ thị của hàm đặc trưng khi = 2

Khi α=1 & β=0 phân bố này suy biến thành phân bố Cauchy với tham số tỷ lệ là σvà tham số dịch chuyển là μ.

Hình 4: Đồ thị của hàm đặc trưng khi α=1 & β=0

Khi α=1/2 & β=1 phân bố này suy biến thành phân bố Levy với tham số tỷ lệ là σ và tham số dịch chuyển là μ.

Hình 5: Đồ thị của hàm đặc trưng khi α=1/2 & β=1

Trường hợp giới hạn, khi σ &α tiến tới 0 phân bố này tiến tới hàm delta Dirac δ(x-μ).

2.3 Một số ứng dụng cụ thể

a) Ứng dụng phân tích nhiễu xung trên mạng tải điện tại khu công nghiệp:

Hình 6: Kết quả đo biên độ nhiễu xung tại khu công nghiệp chợ Hương – Hải Phòng

Hình 6 đã chỉ ra rằng trong lược đồ biên độ nhiễu xung xuất hiện những xung có biên độ 5V đỉnh đỉnh. Để có thể mô tả hiện tượng này chúng tôi đã ướm kết quả đo với mô hình alpha ổn định:

Hình 7: Kết quả ướm với phân bố alpha ổn định.

b) Ứng dụng phân tích khối lượng cổ phiếu giao dịch tại thị trường chứng khoán Việt Nam

Hình 8: Lược đồ khối lượng cổ phiếu giao dịch tại thị trường chứng khoán Việt Nam trong 2 năm 2010 -2012

Hình 8 chỉ ra rằng, khối lượng cổ phiếu giao dịch tập trung ở vùng 30 triệu cổ phiếu/phiên, tuy nhiên có những phiên giao dịch đột biến lên tới 150 triệu cổ phiếu/ phiên. Hoàn toàn không phù hợp khi áp dụng phân bố Gauss vào dạng lược đồ này, chúng tôi đã kiểm thử với phân bố alpha ổn định và kết quả nhận được như sau:

Hình 9: Kết quả ướm khối lượng cổ phiếu giao dịch với alpha ổn định.

Mô hình chúng ta thu được với các tham số là α = 1.33116, β = 1, µ = 9.10833, δ = 37.6581. Khối lượng cổ phiếu giao dịch tập trung rơi vào khoảng 37.6 triệu cổ phiếu/ phiên. Xác suất xảy ra phiên giao dịch có khối lượng 150 triệu cổ phiếu là 0.0015.

3. Kết luận và thảo luận

Gần đây, ngày càng nhiều các nghiên cứu về phân bố alpha ổn định. Phân bố này đã được sử dụng trong kỹ thuật, tài chính cũng như phân tích, xác định các hiện tượng ngẫu nhiên. Chúng tôi cho rằng việc nghiên cứu lý thuyết cũng như ứng dụng của phân bố alpha mở ra nhiều hướng đi mới và thú vị.

4. References

1. Adler, Robert J., Feldman, Raisa E., and Taqqu, Murad S.ed.. A Practical Guide to Heavy Tails: Statistical Techniques and Applications. Birkhauser, Boston. 1998.

2. “Benoit Mandelbrot.”http://www.math.yale.edu/mandelbrot/photos.html

3. “Characteristic Function.”

http://planetmath.org/encyclopedia/CharacteristicFunction2.html

4. “Levy skew alpha-stable distribution.”

http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9vy_skew_alpha-stable_distribution

Nội dung đính kèm: Các trường hợp đặc biệt và một số ứng dụng của phân bố alpha ổn định.pdf

Phòng QLKH&ĐTSĐH